Matura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanieMatura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanie
  • Strona Główna
  • Ciekawostki
  • Szkoła Podstawowa
    • Klasy 1-3
    • Klasy 4-6
    • Klasy 7-8
  • Matura Podstawowa
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
    • Kolumna 3
      • Statystyka
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wzory skróconego mnożenia
  • Matura Rozszerzona
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Pochodna funkcji
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Statystyka
    • Kolumna 3
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzór dwumianowy Newtona
      • Wzory skróconego mnożenia
  • O nas
  • Kontakt
    • Strona Główna
    • Ciekawostki
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 1-3
      • Klasy 4-6
      • Klasy 7-8
    • Matura Podstawowa
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Planimetria
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Kolumna 3
        • Statystyka
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wzory skróconego mnożenia
    • Matura Rozszerzona
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
        • Planimetria
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Pochodna funkcji
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
        • Statystyka
      • Kolumna 3
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wielomiany
        • Wzór dwumianowy Newtona
        • Wzory skróconego mnożenia
    • O nas
    • Kontakt

    Matura Podstawowa

    • Home
    • Matura Podstawowa
    • Trójkąt prostokątny

    Trójkąt prostokątny

    • Posted by Rafał
    • Categories Matura Podstawowa, Planimetria
    • Date 13 sierpnia 2017
    • Comments 0 comment

    Zadanie [6 pkt]

    Dany jest trójkąt prostokatny o przeciwprostokątnej długości 26 cm. Jedna przyprostokątna jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Trójkąt ten podzielono prostą prostopadłą do dłuższej przyprostokątnej i przechodzącą przez jej środek. Oblicz pola figur powstałych w wyniku podziału trójkata tą prostą.

    Sposób nr1
    Z treści zadania zauważamy, że mamy teoretycznie dwie niewiadome jakimi sa przyprostokątne trojkąta. Dana jest nam informacja o długości boków. Zatem oznaczmy sobie krótszy bok jako niewiadomą ,,x” natomiast dłuższy ,,x+14”.
    Co dalej?
    Oczywiście pierwszą rzeczą powinno być okreslenie dziedziny naszej niewiadomej ,,x”. Skoro jest to bok figury musi być on dodatni.
    Nasze założenie:
    x>0
    Możemy skorzystać ze znanego nam twierdzenia Pitagorasa aby wyznaczyć nasz ,,x”.
    x^{2}+(x+14)^{2}=26^{2}
    x^{2}+x^{2}+28x+196=676
    2x^{2}+28x-480=0/\div2
    x^{2}+14x-240=0
    Mając funkcje kwadratową liczymy delte.
    \Delta=196-4(1\cdot(-240))=1156
    \sqrt{\Delta}=34
    x_{1}=\frac{-14-34}{2}=-24 \notin{D}
    x_{2}=\frac{-14+34}{2}=10
    x_{1} nie pasuje do naszej dziedziny x>0 więc pod uwage bierzemy tylko x_{2}
    Odczytujemy zatem długości boków odpowiednio 10,24,26 cm.
    Nasza prosta przecinająca trójkąt ABC w punktach D i E dzieli go na trapez ABDE oraz trojkat DE.
    Na mocy cechy podobieństwa trójkątów KKK(Kąt-Kąt-Kąt) mozemy ułożyc proporcję:
    \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DC} z czego ostatecznie po podstawieniu naszych danych uzyskujemy:
    DE=\frac{120}{24}=5 cm^{2}
    Mając długość odcinka DE pozostaje nam policzyć pola figur.
    P_{DEC}=\frac{5\cdot12}{2}=30 cm^{2}
    P_{ABDE}=\frac{10+5}{2}\cdot12=90 cm^{2}
    Co kończy zadanie.

    Sposób nr 2

    Rozwiążmy to zadanie korzystając z funkcji trygonometrycznych.
    Obierzmy kąt między bokami AB i BC i oznaczmy go jako \alpha
    Wyznaczmy \sin\alpha\cos\alpha
    \sin\alpha=\frac{x+14}{26}
    \cos\alpha=\frac{x}{26}
    Mając te dane podstawiamy je do jedynki trygonometrycznej
    \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1
    \frac{(x+14)^{2}}{26^{2}}+\frac{x^{2}}{26^{2}}=1
    Wykonując powyższe obliczenia otrzymamy tę sama funkcje kwadratową i te same pierwiastki.
    x^{2}+14x-240=0
    \Delta=196-4(1\cdot(-240))=1156
    \sqrt{\Delta}=34
    x_{1}=\frac{-14-34}{2}=-24 \notin{D}
    x_{2}=\frac{-14+34}{2}=10
    Mając już boki, możemy skorzystac bezposrednio ze skali podobieństwa.Wyznaczamy ją.
    \frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE}=2=k(skala.podobieństwa)
    Wyznaczmy DE poniewaz tego odcinka szukamy
    DE=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5 cm
    Mamy już wszystkie dane a więc pozostaje nam obliczenie pól powierzchni danych figur tak jak poprzednio.
    P_{DEC}=\frac{5\cdot12}{2}=30 cm^{2}
    P_{ABDE}=\frac{10+5}{2}\cdot12=90 cm^{2}

    Free Download WordPress Themes
    Download Best WordPress Themes Free Download
    Download WordPress Themes
    Download WordPress Themes
    download udemy paid course for free
    download lenevo firmware
    Premium WordPress Themes Download
    download udemy paid course for free
    • Share:
    Rafał

    Previous post

    Jasio
    13 sierpnia 2017

    Next post

    Ciąg geometryczny
    13 sierpień, 2017

    You may also like

    • Funkcje
      Wykaż że dla dowolnej liczby…
      29 czerwiec, 2018
    • Funkcje
      Wiek jubilata
      3 wrzesień, 2017
    • Trygonometria
      Obliczanie wartosci wyrazenia
      2 wrzesień, 2017

    Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

    Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Szukaj

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Kategorie

    • Ciekawostki
    • Matura Podstawowa
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Stereometria
      • Trygonometria
    • Matura Rozszerzona
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Pochodna funkcji
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzory skróconego mnożenia
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 4-6

    Najnowsze Posty

    Parametr m a wartosci funkcji
    02wrz2017
    Kąty w trojkącie
    01wrz2017
    Wyrazy ciągu
    31sie2017

    KONTAKT

    Osoba Kontaktowa:
    Krystian Rosłon
    e-mail: krystian@zadaniazmatmy.pl

    POPRAWNOŚĆ ROZWIĄZAŃ

    Właściciele serwisu www.zadaniazmatmy.pl nie odpowiadają za poprawność rozwiązanych zadań. W przypadku nieprawidłowości prosimy o wiadomość do osoby kontaktowej.

    COOKIES

    W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym.

    Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone