Trójkąt prostokątny
Zadanie [6 pkt]
Dany jest trójkąt prostokatny o przeciwprostokątnej długości 26 cm. Jedna przyprostokątna jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Trójkąt ten podzielono prostą prostopadłą do dłuższej przyprostokątnej i przechodzącą przez jej środek. Oblicz pola figur powstałych w wyniku podziału trójkata tą prostą.
Sposób nr1
Z treści zadania zauważamy, że mamy teoretycznie dwie niewiadome jakimi sa przyprostokątne trojkąta. Dana jest nam informacja o długości boków. Zatem oznaczmy sobie krótszy bok jako niewiadomą ,,x” natomiast dłuższy ,,x+14”.
Co dalej?
Oczywiście pierwszą rzeczą powinno być okreslenie dziedziny naszej niewiadomej ,,x”. Skoro jest to bok figury musi być on dodatni.
Nasze założenie:
x>0
Możemy skorzystać ze znanego nam twierdzenia Pitagorasa aby wyznaczyć nasz ,,x”.
Mając funkcje kwadratową liczymy delte.
nie pasuje do naszej dziedziny x>0 więc pod uwage bierzemy tylko
Odczytujemy zatem długości boków odpowiednio 10,24,26 cm.
Nasza prosta przecinająca trójkąt ABC w punktach D i E dzieli go na trapez ABDE oraz trojkat DE.
Na mocy cechy podobieństwa trójkątów KKK(Kąt-Kąt-Kąt) mozemy ułożyc proporcję:
z czego ostatecznie po podstawieniu naszych danych uzyskujemy:
Mając długość odcinka DE pozostaje nam policzyć pola figur.
Co kończy zadanie.
Sposób nr 2
Rozwiążmy to zadanie korzystając z funkcji trygonometrycznych.
Obierzmy kąt między bokami AB i BC i oznaczmy go jako
Wyznaczmy
Mając te dane podstawiamy je do jedynki trygonometrycznej
Wykonując powyższe obliczenia otrzymamy tę sama funkcje kwadratową i te same pierwiastki.
Mając już boki, możemy skorzystac bezposrednio ze skali podobieństwa.Wyznaczamy ją.
Wyznaczmy DE poniewaz tego odcinka szukamy
Mamy już wszystkie dane a więc pozostaje nam obliczenie pól powierzchni danych figur tak jak poprzednio.