Dzielenie wielomianów

Zadanie[3pkt]
Niech a_{n} dla n\ge1, bedzie resztą z dzielenia wielomianu w_{n}(x)=(2x^{2}-3x-\frac{11}{2})^{n} przez dwumian x+1. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (a_{n}}).
Sposób nr1
Dzielimy pisemnie nasz wielomian w celu uzyskania reszty z dzielenia.
\begin{array}{lll} (2x^2 - 3x -\frac{13}{2}):(x+1) =2x - 5 \\ \underline{-2x^2 - 2x} & & \\ \qquad -5x -\frac{11}{2} & & \\ \qquad \ \ \underline{5x+5} & &\\ \qquad \qquad \qquad R=-\frac{1}{2} & & \\ \end{array}
Więc:
a_{n}=-\frac{1}{2}^{n}
Wynika z tego, że q=-\frac{1}{2}
Korzystamy ze wzoru na sume ciągu geometrycznego :
S_1_0=a_{1}\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q}
S_1_0=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-\frac{1}{2})^{10}}{1+\frac{1}{2}}
S_1_0=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(\frac{1}{1024})}{\frac{3}{2}}
S_1_0=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1023}{1024}\cdot{\frac{2}{3}}
S_1_0=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1023}{1024}
S_1_0=-\frac{1023}{3072}
Sposób nr 2
Miejsce zerowe dwumianu x+1 podstawione do wielomianu w(x) pozwoli nam na szybkie znalezienie jego reszty. Sprawdźmy:
Wstawiamy -1 zamiast x
w_{n}(-1)=(2(-1)^{2}-3(-1)-\frac{11}{2})^{n}
w_{n}(-1)=(2+3-5,5)^{n}
w_{n}(-1)=-\frac{1}{2}^{n}
Otrzymujemy resztę -0,5 tak jak poprzednio bez konieczności dzielenia wielomianu! 🙂
Dalej korzystamy ze wzoru na sumę poczatkowych wyrazów ciagu a_{n} jak powyżej.

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone