Działania na liczbach

Zadanie[2pkt]

Zapisz liczbę $\sqrt{14+6\sqrt5}-\sqrt{14-6\sqrt5}$ w postaci $\sqrt[4]{n}$ gdzie n jest liczbą naturalną.

Sposób nr 1

Liczby podpierwiastkowe możemy zapisać w innej postaci – skorzystac ze wzorów skróconego mnozenia:

$\sqrt{(3+\sqrt5})^{2}-\sqrt{(3-\sqrt5})^{2}$

Następnie redukujemy pierwiastki z kwadratami danych liczb i otrzymujemy proste wyrazenie:

$3+\sqrt5-(3-\sqrt5)=2\sqrt5=\sqrt20$

Zapiszmy tę liczbe w postaci $\sqrt[4]{n}$

$\sqrt[4]{400}$ dlaczego ? Ponieważ $400=20^{2}$ oraz $\sqrt[4]{20^{2}}=20^{\frac{2}{4}}$ czyli nasz postać wyjściowa $\sqrt[2]{20}$

Sposób nr 2

Podnosimy nasze wyrażenie do kwadratu .

$(\sqrt{14+6\sqrt5}-\sqrt{14-6\sqrt5})^{2}=14+6\sqrt5-2(\sqrt{14^{2}-6\sqrt5^{2}})+14-6\sqrt5$

$28-2(\sqrt{196-180})=28-8=20$

Podnieśliśmy naszą liczbe do kwadratu więc teraz pierwiastkujemy ją i otrzymujemy:

$\sqrt{20}$ zapisujemy zgodnie z warunkami zadania=> $\sqrt[4]{400}$

Matura Rozszerzona