Ostrosłup

Zadanie[5pkt]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kat między jego wysokością a ścianą boczną ma miarę 45 stopni. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa, jeżeli jego objetość jest równa 9.

Sposób nr1

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=\frac{P_{p}\cdot{H}}{3}$

W podstawie mamy kwadrat a więc oznaczamy boki jako literę ,,a”. Przemnóżmy obie strony przez 3 aby uzyskac bardziej estetyczne równanie.

$9\cdot3=a^{2}\cdot{H}$

Korzystając z informacji o kącie 45 stopni zauwazamy trojkat rownoramienny o bokach: $\frac{a}{2},H$ i wysokość ściany bocznej $X$ .

Połowa podstawy oraz wysokość H są sobie równe poniewaz jest to trojkat rownoramienny . Nasz X mozemy uzaleznic od a .

$X=\frac{a\sqrt2}{2}$

Mamy wszystkie dane uzaleznione od a wiec podstawmy do wzoru na objętość.

$V=\frac{a^{2}\cdot\frac{a}{2}}{3}=27$

$a^{3}=27\cdot6$

wyznaczamy nasze $a=>3\sqrt[3]{6}$

Mamy krawędź podstawy. Brakuje nam krawędzi bocznej.

Oznaczmy ją sobie jako Y.

Z tw. Pitagorasa :

$(\frac{a\sqrt2}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=Y^{2}$

$\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{4}=Y^{2}$

$Y=\frac{a\sqrt3}{2}$

Mamy wszystkie dane. Sumujemy i gotowe.

$S=4\cdot{a}+4\cdot{Y}=4\cdot{3\sqrt[3]{6}}+4\cdot{\frac{a\sqrt3}{2}}=12\sqrt[3]{6}+2\sqrt3$

Sposób nr 2

Zauwazamy ze trójkąt zawierający połowe boku kwadratu,wysokosc ostroslupa i wysokosc sciany bocznej jest rownoramienny.

Korzystamy z funkcji $\sin$ i wyznaczamy wysokosc sciany bocznej w uzaleznieniu od krawedzi podstawy.

$sin45=\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{X}=>X=\frac{a\sqrt2}{2}$

Wzor na objetosc wyglada wtedy nastepująco:

$V=\frac{a^{2}\cdot\frac{a}{2}}{3}=>a=>3\sqrt[3]{6}$

Mając wysokość ściany bocznej i połowe krawedzi podstawy, mozemy obliczyc krawedz boczna:

$(\frac{a\sqrt2}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=Y^{2}$

$\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{4}=Y^{2}$

$Y=\frac{a\sqrt3}{2}$

Mamy wszystkie dane. Nalezy je dodać:

$S=4\cdot{a}+4\cdot{Y}=4\cdot{3\sqrt[3]{6}}+4\cdot{\frac{a\sqrt3}{2}}=12\sqrt[3]{6}+2\sqrt3$

Matura Podstawowa

Działania na liczbach

Losowanie bez zwracania

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

Matura Podstawowa

You may also like

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi