Matura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanieMatura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanie
  • Strona Główna
  • Ciekawostki
  • Szkoła Podstawowa
    • Klasy 1-3
    • Klasy 4-6
    • Klasy 7-8
  • Matura Podstawowa
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
    • Kolumna 3
      • Statystyka
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wzory skróconego mnożenia
  • Matura Rozszerzona
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Pochodna funkcji
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Statystyka
    • Kolumna 3
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzór dwumianowy Newtona
      • Wzory skróconego mnożenia
  • O nas
  • Kontakt
    • Strona Główna
    • Ciekawostki
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 1-3
      • Klasy 4-6
      • Klasy 7-8
    • Matura Podstawowa
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Planimetria
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Kolumna 3
        • Statystyka
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wzory skróconego mnożenia
    • Matura Rozszerzona
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
        • Planimetria
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Pochodna funkcji
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
        • Statystyka
      • Kolumna 3
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wielomiany
        • Wzór dwumianowy Newtona
        • Wzory skróconego mnożenia
    • O nas
    • Kontakt

    Matura Rozszerzona Funkcje

    • Home
    • Funkcje
    • Funkcja kwadratowa

    Funkcja kwadratowa

    • Posted by Rafał
    • Categories Funkcje, Matura Rozszerzona
    • Date 20 sierpnia 2017
    • Comments 0 comment

    Zadanie[5pkt]

    Dany jest trójmian kwadratowy (m-2)x^{2}+2mx+m+3 . Wyznacz wszystkie
    wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_{1},x_{2}
    spełniające warunek x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}.

    Sposób nr 1

    Mając takie zadanie musimy na samym początku obliczyć deltę naszego trójmianu kwadratowego oraz zwrócić uwage na nasz wspolczynnik kierunkowy .

    m-2\neq0=>m\neq2

    Delta – musi być ona większa od zera ponieważ równanie ma dwa pierwiastki.

    \Delta=4m^{2}-4((m-2)(m+3))=24-4m

    \Delta>0

    24-4m>0

    m<6

    Teraz rozpiszmy nasz warunek :

    x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=>(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})=>(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})

    (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(1-x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=0

    Zgodnie z matematyką któryś nawias musi równać się 0 aby nasze równanie było równe 0.

    Skorzystajmy ze wzorów Viete’a:

    x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}

    x_{1}\cdot{x_{2}}=\frac{c}{a}

    x_{1}+x_{2}=\frac{-2m}{m-2}

    x_{1}\cdot{x_{2}}=\frac{m+3}{m-2}

    \frac{-2m}{m-2}=0 \ =>m=0

    Różnica pierwiastków jest sprzeczna gdyż odejmujac je od siebie i przyrownując do zera otrzymamy :

    x_{1}-x_{2}=0 \ =>x_{1}=x_{2} co jest  nie zgodne z treścią.

    (1-x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=0 \ =>(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1

    (\frac{-2m}{m-2})^{2}-2(\frac{m+3}{m-2})=1

    \frac{4m^{2}}{(m-2)^{2}}-\frac{4m^{2}+24m+36}{(m-2)^{2}}=1

    Odejmujac i mnożąc na krzyż otrzymamy:

    -24m-36=(m-2)^{2}

    m^{2}+20m+32=0

    Szukamy rozwiazań:

    \Delta=400-128=272=>\sqrt{\Delta}=4\sqrt{17}

    m_{1}=-10-2\sqrt{17}\cup{m_{2}}=-10+2\sqrt17

    Opierając się na powyższych wyliczeniach ostateczny wynik wygląda nastepujaco:

    m_{1}=-10-2\sqrt{17}\cup{m_{2}}=-10+2\sqrt17\cup{m_{3}=0}

    Sposób nr 2

    Tworzymy układ równań:

        \[\left\{ \begin{array}{ll} \Delta>0\\ \\ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4} $} \end{array} \right.\]

    Liczymy naszą deltę:

    \Delta=4m^{2}-4((m-2)(m+3))=24-4m

    \Delta>0

    24-4m>0

    m<6

    Obliczamy pierwiastki równania:

    x_{1}=\frac{-2m-\sqrt{24-4m}}{2m-4}\\x_{2}=\frac{-2m+\sqrt{24-4m}}{2m-4}

    Podstawiamy do naszego warunku:

    x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=(\frac{-2m-\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{2}-(\frac{-2m+\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{2}=(\frac{-2m-\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{4}-(\frac{-2m+\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{4}

    Obliczając powyższe działanie otrzymujemy równanie kwadratowe :

    m^{2}+20m+32=0

    Szukamy rozwiazań:

    \Delta=400-128=272=>\sqrt{\Delta}=4\sqrt{17}

    m_{1}=-10-2\sqrt{17}\cup{m_{2}}=-10+2\sqrt17

    Opierając się na powyższych wyliczeniach ostateczny wynik wygląda nastepujaco:

    m_{1}=-10-2\sqrt{17}\cup{m_{2}}=-10+2\sqrt17\cup{m_{3}=0}

    Download Premium WordPress Themes Free
    Download Premium WordPress Themes Free
    Download Premium WordPress Themes Free
    Premium WordPress Themes Download
    udemy course download free
    download mobile firmware
    Download Premium WordPress Themes Free
    online free course
    • Share:
    Rafał

    Previous post

    Równanie z niewiadomą
    20 sierpnia 2017

    Next post

    Równanie z potęgami
    21 sierpień, 2017

    You may also like

    • Funkcje
      Parametr m a wartosci funkcji
      2 wrzesień, 2017
    • Planimetria
      Kąty w trojkącie
      1 wrzesień, 2017
    • Ciagi
      Wyrazy ciągu
      31 sierpień, 2017

    Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

    Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Szukaj

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Kategorie

    • Ciekawostki
    • Matura Podstawowa
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Stereometria
      • Trygonometria
    • Matura Rozszerzona
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Pochodna funkcji
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzory skróconego mnożenia
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 4-6

    Najnowsze Posty

    Parametr m a wartosci funkcji
    02wrz2017
    Kąty w trojkącie
    01wrz2017
    Wyrazy ciągu
    31sie2017

    KONTAKT

    Osoba Kontaktowa:
    Krystian Rosłon
    e-mail: krystian@zadaniazmatmy.pl

    POPRAWNOŚĆ ROZWIĄZAŃ

    Właściciele serwisu www.zadaniazmatmy.pl nie odpowiadają za poprawność rozwiązanych zadań. W przypadku nieprawidłowości prosimy o wiadomość do osoby kontaktowej.

    COOKIES

    W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym.

    Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone