Funkcja kwadratowa

Zadanie[5pkt]

Dany jest trójmian kwadratowy $(m-2)x^{2}+2mx+m+3$ . Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1},x_{2}$
spełniające warunek $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}$ .

Sposób nr 1

Mając takie zadanie musimy na samym początku obliczyć deltę naszego trójmianu kwadratowego oraz zwrócić uwage na nasz wspolczynnik kierunkowy .

$m-2\neq0=>m\neq2$

Delta – musi być ona większa od zera ponieważ równanie ma dwa pierwiastki.

$\Delta=4m^{2}-4((m-2)(m+3))=24-4m$

$\Delta>0$

$24-4m>0$

$m<6$

Teraz rozpiszmy nasz warunek :

$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=>(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})=>(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(1-x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=0$

Zgodnie z matematyką któryś nawias musi równać się 0 aby nasze równanie było równe 0.

Skorzystajmy ze wzorów Viete’a:

$x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$

$x_{1}\cdot{x_{2}}=\frac{c}{a}$

$x_{1}+x_{2}=\frac{-2m}{m-2}$

$x_{1}\cdot{x_{2}}=\frac{m+3}{m-2}$

$\frac{-2m}{m-2}=0 \ =>m=0$

Różnica pierwiastków jest sprzeczna gdyż odejmujac je od siebie i przyrownując do zera otrzymamy :

$x_{1}-x_{2}=0 \ =>x_{1}=x_{2}$ co jest nie zgodne z treścią.

$(1-x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=0 \ =>(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1$

$(\frac{-2m}{m-2})^{2}-2(\frac{m+3}{m-2})=1$

$\frac{4m^{2}}{(m-2)^{2}}-\frac{4m^{2}+24m+36}{(m-2)^{2}}=1$

Odejmujac i mnożąc na krzyż otrzymamy:

$-24m-36=(m-2)^{2}$

$m^{2}+20m+32=0$

Szukamy rozwiazań:

$\Delta=400-128=272=>\sqrt{\Delta}=4\sqrt{17}$

$m_{1}=-10-2\sqrt{17}\cup{m_{2}}=-10+2\sqrt17$

Opierając się na powyższych wyliczeniach ostateczny wynik wygląda nastepujaco:

$m_{1}=-10-2\sqrt{17}\cup{m_{2}}=-10+2\sqrt17\cup{m_{3}=0}$

Sposób nr 2

Tworzymy układ równań:

$\left\{ \begin{array}{ll} \Delta>0\\ \\ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4} $} \end{array} \right.$

Liczymy naszą deltę:

$\Delta=4m^{2}-4((m-2)(m+3))=24-4m$

$\Delta>0$

$24-4m>0$

$m<6$

Obliczamy pierwiastki równania:

$x_{1}=\frac{-2m-\sqrt{24-4m}}{2m-4}\\x_{2}=\frac{-2m+\sqrt{24-4m}}{2m-4}$

Podstawiamy do naszego warunku:

$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=(\frac{-2m-\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{2}-(\frac{-2m+\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{2}=(\frac{-2m-\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{4}-(\frac{-2m+\sqrt{24-4m}}{2m-4})^{4}$