Zadanie [4pkt]

Rozwiąż nierówność:

$(x^{2}-16)(3x+6)>0$

Sposób nr 1

Traktujemy nawiasy jako liczby a więc aby otrzymać 0 musimy jakąs liczbe pomnożyc przez 0.

Oznacza to,że pierwszy lub drugi nawias musi przyjąc postać liczby 0.

$(x^{2}-16)=(x-4)(x+4)$ <- korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i przyrównujemy do zera

$(x-4)(x+4)=0$

$x-4=0=>x=4$

$x+4=0=>x=-4$

I drugi nawias:

$3x+6=0$

$x=-2$

Mamy miejsca zerowe naszej funkcji są to : -4,-2,4

Sprawdźmy jej monotoniczność

W przedziale $(\infty;-4>$ nasza funkcja rośnie a więc

w $(-4;-2)$ bedzie znajdowała się nad osią X i bedzie przyjmowała wartości dodatnie.

w przedziale $<-2;4>$ wykres funkcji bedzie pod osią x a takze w dwoch punktach -2,4 bedzie przyjmował wartość 0.

W przedziale $(4,\infty)$ funkcja znowu rośnie więc interesuje nas ten przedział znajdujący się nad osią x przyjmujący wartości dodatnie.

$ODP:x\in{(-4,-2)\cup{(4,\infty)}}$

Mnożymy nawiasy i otrzymujemy:

$3x^{3}+6x^{2}-48x-96>0/\div3$

$x^{3}+2x^{2}-16x-32>0$

Podstawiamy dzielniki liczby 32(-32,-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16,32) zamiast x aby wyznaczyc miejsca zerowe

Jeśli nasz wielomian dla danej liczby przyjmie wartość 0 oznacza to, że jest ona jego miejscem zerowym.

$w(1)=1^{3}+2\cdot{1^{2}}-16\cdot1-32=-45$

$w(-2)=(-2)^{3}+2\cdot(-2)^{2}}-16\cdot{(-2)}-32=0$

obliczamy kolejne aż uzyskamy 3 liczby które dają wynik 0

(….)

$w(4)=4^{3}+2\cdot{4^{2}}-16\cdot{4}-32=0$

$w(-4)=(-4)^{3}+2\cdot{(-4)^{2}}-16\cdot{(-4)}-32=0$

Znając miejsca zerowe, wiemy, że wykres naszej funkcji zaczyna rosnąć z dołu w górę i podajemy odpowiedź postepujac podobnie jak w sposobie nr 1.