Obliczanie wartości kąta

Zadanie[5pkt]

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni całkowitej jest 8 razy większe od pola podstawy.  Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do jego podstawy.

Sposób nr 1

Zgodnie z treścią zapisujemy podane nam informacje:

P_c=4\cdot{P_p}

Wiemy, że w podstawie znajduje się kwadrat a więc oznaczając jego bok jako ,,a”, a wysokość graniastosłupa jako b, zapisujemy:

P_c=8\cdot{a^2}

4ab+2a^2=8a^2

Uzależniamy dowolny bok od drugiego, weźmy b:

4ab=8a^2-2a^2

b=\frac{6a^2}{4a}=\frac{3a}{2}

Potrzebne nam będzie przekątna podstawy  oraz przekątna graniastosłupa.

Przekątna podstawy to nic innego jak przekątna kwadratu a więc:

a\sqrt2

Powstaje nam trojkąt o przyprostokątnych a\sqrt2,\frac{3a}{2} i przekątnej graniastosłupa x.

Obliczmy x:

x^2=(a\sqrt2)^2+(\frac{3a}{2})^2

x^2=2a^2+\frac{9a^2}{4}

x=\sqrt{17a^2}{4}

x=\frac{a\sqrt17}{2}

Pozostaje wyznaczyć cosinsus kata między przekątną graniastosłupa a podstawą:

\cos{\alpha}=\frac{a\sqrt2}{\frac{a\sqrt{17}}{2}}

\cos{\alpha}=\frac{2a\sqrt2}{a\sqrt17}

\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt17}/\cdot\frac{\sqrt17}{\sqrt17}

\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt34}{17}

Sposób nr 2

Podobnie jak w sposobie pierwszym wyznaczamy nasze długości boków trojkąta i korzystamy z twierdzenia cosinusów:

b^2=(a\sqrt2)^2+(\frac{a\sqrt17}{2})^2-2(a\sqrt2\cdot{\frac{a\sqrt17}{2}})cos\alpha

\frac{9a^2}{4}=2a^2+\frac{17a^2}{4}-a^2\sqrt34\cdot\cos\alpha

4a^2=a^2\sqrt34\cos\alpha/\div{a^2\sqrt34}

\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt34}{17}

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone