Zadanie [4 pkt]

Dane są liczby a, b, c, które są liczbami rzeczywistymi i pierwiastkami wielomianu $x^{3}-9x^{2}+20x-12$ .Oblicz $\sqrt[4]{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-1}$

Sposób nr 1

Szukamy pierwiastków wielomianu poprzez liczenie wartości wielomianu wstawiając zamiast x dzielnik liczby 12.

Dzielnikami 12 są:-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12

Jeżeli po obliczeniu wartosci otrzymamy 0 oznacza to, że dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu.

Wstawiamy więc , zaczynając od najmniejszych i najbardziej prawdopodobnych pierwiastkow tego wielomianu.

$w(1)=1^{3}-9\cdot{1^{2}}+20\cdot1-12=0$

Mamy pierwszy pierwiastek !

Podstawiajmy dalej.

$w(2)=2^{3}-9\cdot{2^{2}}+2-\cdot2-12=0$

Mamy więc już dwa.

$w(3)=3^{3}-9\cdot{3^{2}}+20\cdot3-12=27-81+60-12=-6$

$w(4)=64-144+80-12=-12$

…

$w(6)=216-324+120-12=336-324-12=0$

Mamy 3 pierwiastki tego wielomianu są nimi liczby :1,2,6

Przyjmujemy więc (kolejność jest dowolna,ponieważ każdą z tych liczb podnosimy do kwadratu i dodajemy)

a=1

b=2

c=6

Pozostaje nam wykonać działanie z treści zadania:

$\sqrt[4]{2(1^{2}+2^{2}+6^{2})-1}$

$\sqrt[4]{2(1+4+36)-1}$

$\sqrt[4]{82-1}$

$\sqrt[4]{81}=3$

Sposób nr 2

Jezeli obliczmy pierwsze miejsce zerowe wielomianu np.x=1 możemy podzielić nasz wielomian trzeciego stopnia przez dwumian, którego liczba 1 jest miejscem zerowym a więc bedzie to x-1

$\begin{array}{lll} (x^3 - 9x^2 + 20x-12) & : & (x-1) = x^2 - 8x + 12 \\ \underline{-x^3 + x^2} & & \\ \qquad -8x^2-8x & & \\ \qquad \ \ \underline{8x^2+20x} & &\\ \qquad \qquad \qquad 12x-12& & \\ \qquad \qquad \quad \underline{-12x+12} & & \\ \qquad \qquad \qquad \qquad R=0 & & \\ \end{array}$

Nasz wielomian wyglada więc nastepująco

$(x^{2}-8x+12)(x-1)$

Możemy w ten sposob łatwo obliczyć miejsca zerowe. Majac funkcje kwadratową w pierwszym nawiasie liczymy delte aby móc obliczyć pierwiastki tej funkcji:

$x^{2}-8x+12=0$