Punkty wspólne z okręgiem

Zadanie [6 pkt]

Punkty A(-2;10) i B(4;4) należą do okręgu o równaniu $x^2+y^2+4x-8y=16$ . Wyznacz współrzędne punktu C nalezacego do tego okręgu tak aby trójkąt ABC był równoboczny.

Sposób nr 1

Na samym początku zastanówmy się co będziemy potrzebowali do naszych obliczeń? Z pewnością długośc odcinka AB . Długośc tego odcinka powinna byc równa długości AC oraz BC skoro ma być to trójkąt równoboczny.

$|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(4-10)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt72=6\sqrt2$

Teraz znajdzmy punkt spełniajacy nasz warunek. Skorzystajmy ze wzoru na długość odcinka:

$|AC|=\sqrt{(x+2)^2+(y-10)^2}$

$|BC|=\sqrt(x-4)^2+(y-4)^2}$

$|AC|=|BC|$

$\sqrt{(x+2)^2+(y-10)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}}$

Przyrównujemy wartości podpierwiastkowe gdyż wyrazenia pod pierwiastkiem muszą być takie same i możemy ominąc pierwiastek znajdujacy sie po obu stronach.

$x^2+4x+4+y^2-20y+100=x^2-8x+16+y^2-8y+16$

$12x-12y+72=0/\div12$

$x-y+6=0$

$y=x+6$

Wychodzi nam równanie funkcji liniowej. Musi ona należec do okręgu

Współrzędne punktu C wynoszą więc (x,x+6)

Możemy wstawic je zatem do naszego równania okręgu i szukamy punktów X i Y spelniajacych równanie:

$x^2 + x^2 + 12x + 36 +4x-8x-48-16=0$

$2x^2 + 8x-28 = 0\div2$

$x^2 + 4x - 14 = 0$

$\Delta = 16 +56 = 72$

$\sqrt\Delta = 6\sqrt2$

$x_{1} = \frac{-4-6\sqrt2}{2}=-2-3\sqrt2$

$x_2=-2+3\sqrt2$

Dla każdego x , odpowiednio wyznaczamy y ze wzoru y=x+6

$y_1=4-3\sqrt2$

$y_2=4+3\sqrt2$

Mamy dwa rozwiazania współrzędne punktu C.

$C(x_{1} =-2-3\sqrt2,y_1=4-3\sqrt2)$

$C(x_2=-2+3\sqrt2,y_2=4+3\sqrt2)$

Sposób nr 2

Wyznaczamy długość odcinka |AB| a nastepnie jego środek. Ze środka prowadzimy wysokość która łączy punkt C ze środkiem odcinka |AB|.

$|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(4-10)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt72=6\sqrt2$

Współrzędne środka:

$S(\frac{-2+4}{2},\frac{10+4}{2})$

$S_{|AB|}=(1,7)$

Wysokość trójkąta równobocznego:

$h=\frac{a\sqrt3}{2}$

$h=\frac{6\sqrt6}{2}=3\sqrt6$

$h=|CS_{|AB|}|=3\sqrt6$

Przyrównujemy długość odcinka do wzoru na odcinek ze wspolrzednymi punktu C i S.

$3\sqrt6=\sqrt{(x-1)^2+(y-7)^2}$

$x^2+y^2+2x-14y+50-3\sqrt6=0$

Powstało nam równanie okręgu. Nasze dwa okręgi powinny przecinać się w dwóch punktach a więc analogicznie jak w sposobie pierwszym przyrównujemy je do siebie.

$x^2+y^2+2x-14y+50-3\sqrt6=x^2+y^2+4x-8y-16$