Matura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanieMatura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanie
  • Strona Główna
  • Ciekawostki
  • Szkoła Podstawowa
    • Klasy 1-3
    • Klasy 4-6
    • Klasy 7-8
  • Matura Podstawowa
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
    • Kolumna 3
      • Statystyka
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wzory skróconego mnożenia
  • Matura Rozszerzona
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Pochodna funkcji
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Statystyka
    • Kolumna 3
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzór dwumianowy Newtona
      • Wzory skróconego mnożenia
  • O nas
  • Kontakt
    • Strona Główna
    • Ciekawostki
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 1-3
      • Klasy 4-6
      • Klasy 7-8
    • Matura Podstawowa
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Planimetria
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Kolumna 3
        • Statystyka
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wzory skróconego mnożenia
    • Matura Rozszerzona
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
        • Planimetria
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Pochodna funkcji
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
        • Statystyka
      • Kolumna 3
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wielomiany
        • Wzór dwumianowy Newtona
        • Wzory skróconego mnożenia
    • O nas
    • Kontakt

    Matura Podstawowa Geometria analityczna

    • Home
    • Geometria analityczna
    • Punkty wspólne z okręgiem

    Punkty wspólne z okręgiem

    • Posted by Rafał
    • Categories Geometria analityczna, Matura Rozszerzona
    • Date 25 sierpnia 2017
    • Comments 0 comment

    Zadanie [6 pkt]

    Punkty A(-2;10) i B(4;4) należą do okręgu o równaniu x^2+y^2+4x-8y=16 . Wyznacz współrzędne punktu C nalezacego do tego okręgu tak aby trójkąt ABC był równoboczny.

    Sposób nr 1

    Na samym początku zastanówmy się co będziemy potrzebowali do naszych obliczeń? Z pewnością długośc odcinka AB . Długośc tego odcinka powinna byc równa długości AC oraz BC skoro ma być to trójkąt równoboczny.

    |AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(4-10)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt72=6\sqrt2

    Teraz znajdzmy punkt spełniajacy nasz warunek. Skorzystajmy ze wzoru na długość odcinka:

    |AC|=\sqrt{(x+2)^2+(y-10)^2}

    |BC|=\sqrt(x-4)^2+(y-4)^2}

    |AC|=|BC|

    \sqrt{(x+2)^2+(y-10)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}}

    Przyrównujemy wartości podpierwiastkowe gdyż wyrazenia pod pierwiastkiem muszą być takie same i możemy ominąc pierwiastek znajdujacy sie po obu stronach.

    x^2+4x+4+y^2-20y+100=x^2-8x+16+y^2-8y+16

    12x-12y+72=0/\div12

    x-y+6=0

    y=x+6

    Wychodzi nam równanie funkcji liniowej. Musi ona należec do okręgu

    Współrzędne punktu C wynoszą więc (x,x+6)

    Możemy wstawic je zatem do naszego równania okręgu i szukamy punktów X i Y spelniajacych równanie:

    x^2 + x^2 + 12x + 36 +4x-8x-48-16=0

    2x^2 + 8x-28 = 0\div2

    x^2 + 4x - 14 = 0

    \Delta = 16 +56 = 72

    \sqrt\Delta = 6\sqrt2

    x_{1} = \frac{-4-6\sqrt2}{2}=-2-3\sqrt2

    x_2=-2+3\sqrt2

    Dla każdego x , odpowiednio wyznaczamy y ze wzoru y=x+6

    y_1=4-3\sqrt2

    y_2=4+3\sqrt2

    Mamy dwa rozwiazania współrzędne punktu C.

    C(x_{1} =-2-3\sqrt2,y_1=4-3\sqrt2)

    C(x_2=-2+3\sqrt2,y_2=4+3\sqrt2)

    Sposób nr 2

    Wyznaczamy długość odcinka |AB| a nastepnie jego środek. Ze środka prowadzimy wysokość która łączy punkt C ze środkiem odcinka |AB|.

    |AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(4-10)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt72=6\sqrt2

    Współrzędne środka:

    S(\frac{-2+4}{2},\frac{10+4}{2})

    S_{|AB|}=(1,7)

    Wysokość trójkąta równobocznego:

    h=\frac{a\sqrt3}{2}

    h=\frac{6\sqrt6}{2}=3\sqrt6

    h=|CS_{|AB|}|=3\sqrt6

    Przyrównujemy długość odcinka do wzoru na odcinek ze wspolrzednymi punktu C i S.

    3\sqrt6=\sqrt{(x-1)^2+(y-7)^2}

    x^2+y^2+2x-14y+50-3\sqrt6=0

    Powstało nam równanie okręgu. Nasze dwa okręgi powinny przecinać się w dwóch punktach a więc analogicznie jak w sposobie pierwszym przyrównujemy je do siebie.

    x^2+y^2+2x-14y+50-3\sqrt6=x^2+y^2+4x-8y-16

    y=-\frac{x}{3}+11-\frac{\sqrt6}{2}

    Współrzedne punktu C (x,-\frac{x}{3}+11-\frac{\sqrt6}{2})

    Podstawiając do wzoru na okrąg otrzymamy te same wartości co w sposobie pierwszym a więc

    C(x_{1} =-2-3\sqrt2,y_1=4-3\sqrt2)

    C(x_2=-2+3\sqrt2,y_2=4+3\sqrt2)

    Premium WordPress Themes Download
    Free Download WordPress Themes
    Premium WordPress Themes Download
    Download WordPress Themes Free
    free download udemy paid course
    download samsung firmware
    Download WordPress Themes
    ZG93bmxvYWQgbHluZGEgY291cnNlIGZyZWU=
    • Share:
    Rafał

    Previous post

    Obliczanie ilości sposobów
    25 sierpnia 2017

    Next post

    Wyznacz wartość parametru m
    26 sierpień, 2017

    You may also like

    • Funkcje
      Parametr m a wartosci funkcji
      2 wrzesień, 2017
    • Planimetria
      Kąty w trojkącie
      1 wrzesień, 2017
    • Ciagi
      Wyrazy ciągu
      31 sierpień, 2017

    Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

    Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Szukaj

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Kategorie

    • Ciekawostki
    • Matura Podstawowa
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Stereometria
      • Trygonometria
    • Matura Rozszerzona
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Pochodna funkcji
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzory skróconego mnożenia
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 4-6

    Najnowsze Posty

    Parametr m a wartosci funkcji
    02wrz2017
    Kąty w trojkącie
    01wrz2017
    Wyrazy ciągu
    31sie2017

    KONTAKT

    Osoba Kontaktowa:
    Krystian Rosłon
    e-mail: krystian@zadaniazmatmy.pl

    POPRAWNOŚĆ ROZWIĄZAŃ

    Właściciele serwisu www.zadaniazmatmy.pl nie odpowiadają za poprawność rozwiązanych zadań. W przypadku nieprawidłowości prosimy o wiadomość do osoby kontaktowej.

    COOKIES

    W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym.

    Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone