Okrag w trójkącie

Zadanie[3 pkt]

Promień okregu wpisanego w trójkat prostokątny wynosi 100. Sinus jednego z kątów ostrych w trójkącie wynosi \frac{4}{5}. Oblicz odległość między wierzchołkiem kata prostego a punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną.

Sposób nr 1

Skoro sinus wynosi\frac{4}{5}, to mozemy oznaczyc boki jako 4x,5x. Jest to odpowiednio przyprostokątna i przeciwprostokątna. Z twierdzenie Pitagorasa liczmy 3 bok:

4x^2+y^2=5x^2

y^2=9x^2

y=3x

aby obliczyć wysokość trójkąta musimy znać jego pole.

P=pr gdzie p=połowa obwodu , r-promień okręgu wpisanego

P=\frac{a\cdoth}{2}=\frac{3x\cdot{4x}}{2}=6x^2

p=\frac{3x+4x+5x}{2}=6x

r=100

Podstawmy i wyznaczmy x.

6x^2=6x\cdot{100}

6x^2-600x=0

6x(x-100)=0

Widzimy ze dla x=100 lub x=0(bok nie moze wynosić 0) nasze równanie przyjmie wartość 0.

P=6\cdot{10000}=60000

Teraz znajac pole i boki, możemy wstawic przeciwprostokątną jako podstawe do naszego wzoru i obliczyc niewiadomą h.

P=\frac{a\cdoth}{2}=\frac{500h}{2}

60000\cdot2=500h

h=240

Sposób nr 2

Zakładając ze boki to 4x i 5x na podstawie danych o kącie ostrym

 

Oznaczamy trójkąt w ten sposób i liczymy z twierdzenia pitagorasa:

(4x)^2+(2r+x)^2=(5x)^2

(4x)^2+4r^2+4rx+x^2-(5x)^2=0

-8x^2+40000+400x=0

\Delta=1440000

\sqrt\Delta=1200

x_1=-\frac{-400-1200}{-16}=100

x_2=\frac{-400+1200}{-16}=-\frac{1}{2} bok nie może byc ujemny

Mamy długośc boków 300,400,500

P=\frac{300\cdot{400}}{2}=60000

Tak samo jak w sposobie nr 1

60000\cdot2=500h

h=240

 

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone