Home
Ciągi
Ciag arytmetyczny i geometryczny

Ciag arytmetyczny i geometryczny

Posted by Rafał
Categories Ciągi, Matura Podstawowa
Date 29 sierpnia 2017
Comments 0 comment

Zadanie[5pkt]

Ciag (a,b,c) jest arytmetyczny i suma jego wyrazów wynosi 36. Ciąg (a,b+4,c+16) jest geometryczny. Oblicz a b c.

Sposób nr 1

Z definicji ciągu arytmetycznego zapiszmy sume 3 pierwszych wyrazow:

$a_1+a_1+r+a_1+2r=36$

$3a_1+3r=36/\div3$

$a_1+r=12=a_2=b$

Suma $a+c=24$

Znamy b które wynosi 12.

Skorzystajmy teraz z definicji ciągu geometrycznego:

$\frac{b+4}{a}=\frac{c+16}{b+4}$

Mnożąc po przekątnej otrzymamy:

$16^2=a(c+16)$

$256=a(c+16)$

Możemy wyznaczy dowolna litere:

$a=\frac{256}{c+16}$

Mamy wyznaczone a ktore mozemy wstawic do sumy $a+c=24$

$\frac{256}{c+16}+c=24$

$\frac{256}{c+16}+\frac{c(c+16)}{c+16}=\frac{c^2+16c+256}{c+16}$

$\frac{c^2+16c+256}{c+16}=24$

$c^2+16c+256=24c+384$

$c^2-8c-128=0$

Obliczamy nasze c:

$\Delta=64+512=576$

$\sqrt\Delta=24$

$c_1=\frac{8-24}{2}=-8$

$c_2=\frac{8+24}{2}=16$

Mamy dwa rozwiązania:

$c_1=-8$

$c_2=16$

Oznacza to, że ciąg bedzie prawdziwy dla dwóch par liczb.

Obliczmy brakujące a ze wzoru na przykład na sumę $a+c=24$

$a=24-c$

$a_1=24-(-8)=32$

$a_2=24-16=8$

Podsumuwując mamy dwa układy liczb spełniajacych warunki zadania:

$\left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}$

Sposób nr 2

Znamy wzór na sume ciągu arytmetycznego i mozemy podstawic do niego nasze dane

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn$

$S_3=36$

$36=(a_1+r)\cdot3$

$a_1+r=12=a_2=b$

Wyznaczyliśmy b ze wzoru na sumę.

Spróbujmy zrobić to samo z ciągiem geometrycznym.

$S_{n}=a\frac{1-q^3}{1-q}$

Suma ciagu geometrycznego jest równa 56.

$a+aq+aq^2=56$

$a+16+aq^2=56$

$a+aq^2=40$

Nasze q można wyznaczyć w zalezności od a, wiemy, że iloraz dwoch wyrazow jest rowny q wiec:

$\frac{b+4}{a}=\frac{16}{a}=q$

Wstawiamy q do wyznaczonej sumy:

$a+a(\frac{16}{a})^2=40$

$a+\frac{256}{a}=40$

$\frac{a^2}{a}+\frac{256}{a}=40$

$\frac{a^2+256}{a}=40$

$a^2+256-40a=0$

$\Delta=1600-1024=576$

$a_1=8$

$a_2=32$

Wyliczamy c z wyznaczaonej sumy :

$a+c=24$

$c_1=24-a_1$

$c_1=16$

$c_2=24-32=-8$

$\left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}$

Download Best WordPress Themes Free Download

Download Nulled WordPress Themes

Download Nulled WordPress Themes

Download Nulled WordPress Themes

free download udemy paid course

download mobile firmware

Free Download WordPress Themes

udemy paid course free download

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

Zaloguj się: