Home
Ciągi
Ciag arytmetyczny i geometryczny

Ciag arytmetyczny i geometryczny

Posted by Rafał
Categories Ciągi, Matura Podstawowa
Date 29 sierpnia 2017
Comments 0 comment

Zadanie[5pkt]

Ciag (a,b,c) jest arytmetyczny i suma jego wyrazów wynosi 36. Ciąg (a,b+4,c+16) jest geometryczny. Oblicz a b c.

Sposób nr 1

Z definicji ciągu arytmetycznego zapiszmy sume 3 pierwszych wyrazow:

$a_1+a_1+r+a_1+2r=36$

$3a_1+3r=36/\div3$

$a_1+r=12=a_2=b$

Suma $a+c=24$

Znamy b które wynosi 12.

Skorzystajmy teraz z definicji ciągu geometrycznego:

$\frac{b+4}{a}=\frac{c+16}{b+4}$

Mnożąc po przekątnej otrzymamy:

$16^2=a(c+16)$

$256=a(c+16)$

Możemy wyznaczy dowolna litere:

$a=\frac{256}{c+16}$

Mamy wyznaczone a ktore mozemy wstawic do sumy $a+c=24$

$\frac{256}{c+16}+c=24$

$\frac{256}{c+16}+\frac{c(c+16)}{c+16}=\frac{c^2+16c+256}{c+16}$

$\frac{c^2+16c+256}{c+16}=24$

$c^2+16c+256=24c+384$

$c^2-8c-128=0$

Obliczamy nasze c:

$\Delta=64+512=576$

$\sqrt\Delta=24$

$c_1=\frac{8-24}{2}=-8$

$c_2=\frac{8+24}{2}=16$

Mamy dwa rozwiązania:

$c_1=-8$

$c_2=16$

Oznacza to, że ciąg bedzie prawdziwy dla dwóch par liczb.

Obliczmy brakujące a ze wzoru na przykład na sumę $a+c=24$

$a=24-c$

$a_1=24-(-8)=32$

$a_2=24-16=8$

Podsumuwując mamy dwa układy liczb spełniajacych warunki zadania:

$\left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}$

Sposób nr 2

Znamy wzór na sume ciągu arytmetycznego i mozemy podstawic do niego nasze dane

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn$

$S_3=36$

$36=(a_1+r)\cdot3$

$a_1+r=12=a_2=b$

Wyznaczyliśmy b ze wzoru na sumę.

Spróbujmy zrobić to samo z ciągiem geometrycznym.

$S_{n}=a\frac{1-q^3}{1-q}$

Suma ciagu geometrycznego jest równa 56.

$a+aq+aq^2=56$

$a+16+aq^2=56$

$a+aq^2=40$

Nasze q można wyznaczyć w zalezności od a, wiemy, że iloraz dwoch wyrazow jest rowny q wiec:

$\frac{b+4}{a}=\frac{16}{a}=q$

Wstawiamy q do wyznaczonej sumy:

$a+a(\frac{16}{a})^2=40$

$a+\frac{256}{a}=40$

$\frac{a^2}{a}+\frac{256}{a}=40$

$\frac{a^2+256}{a}=40$

$a^2+256-40a=0$

$\Delta=1600-1024=576$

$a_1=8$

$a_2=32$

Wyliczamy c z wyznaczaonej sumy :

$a+c=24$

$c_1=24-a_1$

$c_1=16$

$c_2=24-32=-8$

$\left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}$

Download WordPress Themes Free

Download WordPress Themes

Download Premium WordPress Themes Free

Download Nulled WordPress Themes

udemy course download free

download lava firmware

Download Best WordPress Themes Free Download

udemy free download

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

Zaloguj się: