Okrąg i styczne

Zadanie [ 5 pkt]

Wyznacz równania stycznych do okręgu (x-3)^2+y^2=9 nachyloych do osi OX pod kątem 45 stopni.

Jak wiemy, tg{\alpha} jest współczynnikiem kierunkowym a funkcji liniowej y=ax+b.

tg{45^\circ}=1

y=x+b

Środek okręgu ma wspolrzedne S(3,0) ponieważ znajac ogolny wzor okręgu wiemy,że miejsca zerowe x-ów i y-ów w nawiasach są współrzednymi srodka okręgu.

Styczna d okręgu oznacza funkcje prostopadłą do promienia okręgu. A wiec wyznaczmy wzór prostej prostopadlej przechodzącej przez punkt S=(3,0)

Prosta prostopadłą ma przeciwny i odwrotny wspolczynnik kierunkowy.

y=-x+b

0=-3+b

b=3

y=-x+3

Mamy wzór prostej prostopadłej.. Teraz wyobraźmy sobie, że te dwie funkcje przecinaja sie ze soba wlasnie w punkcie stycznosci. Przyrównujac do siebie funkcje prostopadłą i rownanie okręgu otrzymamy wspolrzedne punktow wspolnych. Nastepne wynik podstawimy do równania naszej prostej stycznej i gotowe.

(x-3)^2+(-x+3)^2=9

x^2-6x+9+9-6x+x^2-9=0

2x^2-12x-9=0

\Delta=144+72=216

\sqrt\Delta=6\sqrt6

x_1=3-\frac{3\sqrt6}{2}

x_2=3+\frac{3\sqrt6}{2}

Mamy wspolrzedne x punktow stycznosci.

podstawmy do wzoru prostej prostopadłej aby obliczyc wspolrzedne y:

y_1=-(3-\frac{3\sqrt6}{2})+3=\frac{3\sqrt6}{2}

y_2=-(3+\frac{3\sqrt6}{2})+3=-\frac{3\sqrt6}{2}

Teraz wystarczy podstawic dane punkty do prostej stycznej do okręgu w celu wyznaczenia b.

\frac{3\sqrt6}{2}=3-\frac{3\sqrt6}{2}+b

b_1=3\sqrt6-3

-\frac{3\sqrt6}{2}=3+\frac{3\sqrt6}{2}+b

b_2=-3\sqrt6-3

ODPOWIEDŹ: Równania prostych stycznych są nastepujące:

y_1=x+3\sqrt6-3

y_2=x-3\sqrt6-3.

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone