Trójkąt wpisany w okrąg

Zadanie [4pkt]

W okrąg o promieniu 6 wpisano trójkąt równoramienny . Oblicz dlugości jego boków jesli kąt między ramionami wynosi 120^\circ

Sposób nr 1

Zauważamy, że promień okręgu r dzieli kąt ACB 120^\circ na połowe. Otrzymujemy wieć dwa razy po 60^\circ.

Oznaczmy O jako srodek okręgu.

Kąt OCB= 60^\circ=CBO ponieważ jest to trojkąt równoramienny o bokach r, musi miec przy podstawie CB takie same kąty.

Dodając je do siebie otrzymamy 120^\circ czyli kąt BOC=60^\circ.

Trojkąt OCB jest równoboczny o boku r=6.

Dwa ramiona trojkata rownoramiennego ACB maja dlugosc 6.

Brakuje nam jego podstawy która równa się dwóm wysokościom naszego trójkąta równobocznego.

h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3

2h=6\sqrt3

\left\{\begin{array}{l} AC=CB=6\\AB=6\sqrt3\end{array}

Sposób nr 2

Korzystamy z twierdzenia cosinusow w celu ustalenia długości BC.

6^2=6^2+BC^2-2\cdot6\cdotBC\cdot{\cos60^\circ}

36=36+BC^2-12BC\cdot\frac{1}{2}

BC^2-6BC=0

BC(BC-6)=0

BC=0 lub BC-6=0=>BC=6

Oczywiscie długośc boku nie może równać się 0 więc odpowiedzią jest BC =6.

Mamy dowód ze jest to trojkąt równoboczny o boku 6.

Teraz ponownie korzystajac z twierdzenia cosinusow mozemy obliczyć długość boku AB.

AB^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cdot{\cos120^\circ}

Z tablic wartości poszczególnych kątów wiemy, ze \cos120^\circ=-\frac{1}{2}

AB^2=72+72\cdot{\frac{1}{2}}

AB^2=108

AB=6\sqrt3

\left\{\begin{array}{l} AC=CB=6\\AB=6\sqrt3\end{array}

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone