Punkt z prostą

Zadanie [ 6pkt]

Punkt A(a,5) nalezy do prostej o równaniu y=-3x+8. Oblicz a. Znajdz punkt B na osi OX który jest oddalony od punktu A o tyle samo co punkt A od miejsca zerowego C funkcji y=-3x+8. Oblicz pole powstałego trójkąta ABC.

Sposób nr 1

Liczymy a:

5=-3a+8

-3a=-3

a=1

A(1,5)

PUNKT C:

0=-3x+8

x=\frac{8}{3}

C(\frac{8}{3},0)

Odległość punktu A od C:

|AC|=\sqrt{(\frac{8}{3}-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{\frac{25}{9}+25}=\sqrt{\frac{250}{9}=\frac{\sqrt{250}}{3}

Długośc BA ma być rowna dlugosci AC więc:

|BA|=\sqrt{(1-x)^2+(5-0)^2}=\sqrt{1-2x+x^2+25}

\frac{\sqrt{250}}{3}=\sqrt{x^2-2x+26}

Mozemy przyrownac wyrazenia pod pierwiastkami:

\frac{250}{9}=x^2-2x+26

x^2-2x-\frac{16}{9}=0

\Delta=4+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}

\sqrt\Delta=\frac{10}{3}

x_1=\frac{2-\frac{10}{3}}{2}

x_2=\frac{2+\frac{10}{3}}{2}

Obliczyliśmy współrzedne punktu B.

B(-\frac{2}{3},0) lub B(\frac{8}{3},0)=C

Podstawa trójkąta ma długość \frac{10}{3} ponieważ jest to odległośc między punktami B i C. A wysokość to współrzędne y  punktu A(1,5).

Liczymy pole:

P_{ABC}=\frac{|BC|\cdot{5}}{2}=\frac{10}{3}\cdot{5}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{25}{3}

Sposób nr 2

Zauwazmy trójkąt protoskatny o przeciwprostokątnej AC.

wysokosc jest równa 5-wspolrzedna y punktu A

długość podstawy trojkata prostokatnego: \frac{5}{3}  poniewaz od punktu x=1 do x=\frac{8}{3} odlegosc wynosi własnie tyle.

Podnosimy do kwadratu i obliczamy długośc |AC|.

\frac{5}{3}^2+5^2=|AC|^2

|AC|=\sqrt{\frac{250}{9}}

Zauważamy, że skoro ramiona trójkąta są takie same to trójkąt ten jest równoramienny z czego wynika równa odlegość od punktu x=1.

Możemy stąd obliczyć współrzędną x punktu B :

1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}

B(-\frac{2}{3},0)

Tak jak w sposobie nr 1 liczymy pole trójkąta i podajemy wynik.

Liczymy pole:

P_{ABC}=\frac{|BC|\cdot{5}}{2}=\frac{10}{3}\cdot{5}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{25}{3}

 

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone