Kąty w trojkącie

Zadanie[6 pkt]

Miara jednego z kątów trójkąta jest równa 30 stopni. Pole tego trojkata wynosi \sqrt3. A promien okręgu na nim opisanego jest rowny 3. Oblicz boki tego trójkąta.

Jesli oznaczamy bok a jako bok lezacy naprzeciwko kąta \alpha to z twierdzenia sinusów :

2R=\frac{a}{\sin\alpha}

6=\frac{a}{\sin{30^\circ}}

a=3

Skoro pole trójkata wynosi \sqrt3 to ze wzoru na pole:

P=\frac{1}{2}\cdotb\cdotc\cdot{\sin{30^\circ}}

\sqrt3=\frac{bc}{4}

bc=4\sqrt3

Teraz z twierdzenia cosinusów:

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot{\cos{30^{\circ}}}

4=b^2+c^2-2bc\cdot{\frac{\sqrt3}{2}}

b^2+c^2-\sqrt3bc-9=0

Powstaje nam układ równań:

    \[{ \begin{array}{ll} b^2+c^2-\sqrt3bc-9=0\\ bc=4\sqrt3\\ \end{array} \right.\]

Wyznaczamy b

b=\frac{4\sqrt3}{c}

i wstawiamy do pierwszego równania:

c^2+(\frac{4\sqrt3}{c})^2-\sqrt3c\cdot\frac{4\sqrt3}{c}-9=0

c^2+\frac{48}{c^2}-12-9=0/\cdot{c^2}

c^4-21c^2+48=0

Podstawiamy zmienną t=c^2

t^2-21t+48=0

\Delta=441-192=249

t_1=\frac{21-\sqt249}{2}

t_2=\frac{21+\sqrt249}{2}

c_1=\sqrt{\frac{21-\sqt249}{2}}

c_2=\sqrt{\frac{21+\sqrt249}{2}}

b_1=\frac{4\sqrt3}{\sqrt{\frac{21-\sqt249}{2}}}

b_2=\frac{4\sqrt3}{\sqrt{\frac{21+\sqrt249}{2}}}

Są dwie pary boków spelniajace warunki zadania 🙂

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone